a cos(B+C)=b cos(A+C)=c cos(A+B) 判断三角形ABC的形状

网友回答

∵a cos(B+C)=b cos(A+C)=c cos(A+B)
∴a cosA=b cosB=c cosC
∴sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A=sinB=sin2C
∴A=B=C或A+B=π/2或A+C=π/2或C+B=π/2
∴三角形ABC为等边三角形或直角三角形
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
正三角形，b+c=180-a，就这样算
供参考答案2:
因为cos(B+C)=cos(180°-B-C);
所以可得a*cosA=b*cosB=c*cosC;
又a/sinA=b/sinB;
所以sinA=cosB*sinB;
同理sinC=cosB*sinB;
所以A=C；
同理轮换可得A=B=C；所以为正三角形
供参考答案3:
∵cos(180º-α)=-cosα，且A+B+C=180º，
∴cos（B+C）=-cosA，cos（A+C）=-cosB，
由题意，a cos(B+C)=b cos(A+C)
即a cosA=b cosB，
由正弦定理得，sinA cosA=sinB cosB，
即sin2A=sin2B，A，B∈（0，π）
∴A=B或A+B=π/2，
若A+B=π/2，则cos(A+B)=cosπ/2=0，
代入原式，得cos(B+C)= cos(A+C)=0
即A=B=C=π/2与三角形内角和定理矛盾，
∴必有A=B
同理，B=C，C=A.
∴A=B=C，三角形ABC为等边三角形.