如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为________．

网友回答

解析分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．

解答：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°-∠B-∠F-∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°-∠BEF=30°，∴∠EMC=180°-∠C-∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD?DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB-AD=3+-1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD?EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC-BE=2，∵∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC?cos30°=，∴FM=EF-EM=BE-EM=1，∴MN=FM?tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF-S△MNF=S△BDE-S△MNF=-×1×=．

点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．