定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且函数是偶函数又在区间上递增．给出四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）图象

网友回答

①②③④
解析分析：①由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函数的定义可以判断①的正误；②利用是偶函数，采用换元法，结合周期性可判断其奇偶性；③设出y=f（x）上任意一点P（x0，y0）关于（1，0）的对称点为P′（2-x0，-y0），由曲线关于点对称的定义去判断正误；④利用函数是偶函数，又在区间上递增，结合函数的周期性可以判断其正误．

解答：∵f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期函数，①正确；∵是偶函数，∴f（-x+）=，令-x+=t，有f（t）=f（1-t），∴有f（x）=f（1-x）；（1）又f（x+1）=-f（x），∴f（-x+1）=-f（-x），（2），由（1）（2）得-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数；②正确；设P（x0，y0）为y=f（x）上任意一点，点P关于（1，0）的对称点为P′（2-x0，-y0），由①②正确可知，f（2-x0）=f（-x0）=-f（x0）=-y0，即P′（2-x0，-y0）也在y=f（x）上，即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，③正确；∵函数是偶函数，又在区间上递增，∴f（x）在上递减，又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）在区间上递减，④正确；故