如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边三角形的另一顶点E在腰AB上，点F在线段CD上，∠FBC=30°，连接AF．下

网友回答

A

解析分析：①根据直角梯形ABCD，得到∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，求出∠ADC=105°，根据等边三角形的性质得出∠EDC=∠DCE=60°，求出∠EDA=45°即可得出AE=AD，②连接AC，由∠EDA=∠ADE=45°，得到AE=AD，根据等边三角形，得到CE=CD证△DCA≌△DCA，推出∠ECA=∠DCA=30°，求出∠CAB=45°，推出∠CAB=∠ACB即可得出AB=BC；③连接AF，BF、AD的延长线相交于点G．根据三角形的内角和定理以及②的结论发现等边三角形ABF，从而求解．④利用三角形面积公式，求出三角形的高进而得出面积比．⑤由△BCF≌△GDF．得出DF=CF，即点F是线段CD的中点．

解答：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，∵∠DCB=75°，∴∠ADC=105°，∵△DCE是等边三角形，∴∠EDC=∠DCE=60°，∴∠EDA=45°，∴∠AED=45°，∴AE=AD，故：①AE=AD此选项正确；证明：连接AC，∵∠AED=∠ADE=45°，∴AE=AD∵△DCE是等边三角形，∴CE=CD∵AC=AC，∴△DCA≌△ECA，∴∠ECA=∠DCA=30°，∵∠DCB=75°，∴∠ACB=45°∵∠B=90°，∴∠CAB=45°，∴∠CAB=∠ACB，∴AB=BC；故②AB=BC选项正确；解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，∴∠BFC=75°，故BC=BF．由②知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60°，∴AB=BF=FA，又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30°．∴③∠DAF=30°此选项正确；∴FG=FA=FB．∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，∴△BCF≌△GDF．∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．故⑤点F是线段CD的中点此选项正确；连接AC，交ED与点H，由以上分析可以易证AC⊥DE，S△AED：S△CED=DE?AH：DE?CH=AH：CH，∵AE=AD，∠AED=45°，∴AH=DE，∵△EDC为等边三角形，∴CH=DE，∴∴④选项正确；故正确的有：5个，故选：A．

点评：此题主要是考查了等腰直角三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练利用等边三角形的性质与判定得出是解题关键．