填空题在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C1：y=ax3+1（a＞0）与曲线的一个公共点，若C1与C2在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是________．
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4解析分析：设出两曲线的交点A的坐标，代入两曲线解析式，分别记作①和②，由曲线C1的解析式，求出导函数，把点A的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为曲线C1在A处的切线的斜率，进而表示出C1在A处的切线方程，由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，得到求出的切线方程过曲线C2的圆心（0，0），把圆心坐标代入切线方程得到一个关系式，记作③，联立①②③，即可求出a的值．解答：设点A的坐标为（x0，y0），代入两曲线方程得：y0=ax03+1①，x02+y02=②，由曲线C1：y=ax3+1得：y′=3ax2，则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax02，所以C1在A处的切线方程为：y=3ax02（x-x0）+y0，由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，得到切线方程y=3ax02（x-x0）+y0过圆C2的圆心（0，0），则有3ax02（0-x0）+y0=0，即y0=3ax03③，把③代入①得：a=④，④代入③得：y0=⑤，⑤代入②得：x0=±，当x0=时，代入④得：a=4；当x0=-时，代入④得：a=-4（由a＞0，不合题意，舍去）．则实数a的值为4．故