解答题如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1

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解：（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H．
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
因此，由三垂线定理A1A⊥BC．
∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°．

（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP．
而FP?平面B1FC，A1E?平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC．
（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
在Rt△A1FO中，A1O===．
故所求球的半径R=a，球的体积V=πR3=πa3．解析分析：（Ⅰ）要求A1A与底面ABC所成的角，先作出直线与平面所成的角，通过解三角形即可．（Ⅱ）要证明A1E∥平面B1FC，可以在平面B1FC中作出直线FP（P为CB1的中点），证明A1E∥FP即可．（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积，找到球心H，求出球的半径，即可．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和逻辑思维能力，直线与欧美所成的角等有关知识，是难题．