如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论

网友回答

C
解析分析：首先过点F作FG⊥BC于G，由题意易得△ABD，△ACD，△CFG是等腰直角三角形，△AEF与△APE是等腰三角形，然后由△ABF∽△DBE，可求得①正确；再过点P作PH⊥AD于H，由等腰三角形的性质与平行线分线段成比例定理，可求得②正确；又由△ABP∽△FBC，可证得③正确；由△ABP∽△FBC，可得BF?PB=AB?BC=AB2，由CF=FG=AF，可得CF?AC=（2-）AB2，继而可求得BF?PB+CF?AC=2AB2．

解答：过点F作FG⊥BC于G，∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=∠ABC=22.5°，FG=FA，∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，∴AD=BD=CD，∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，∴△ABF∽△DBE，∴AF：DE=AB：BD=，∴AF=DE，∴FG=DE，∵CF=FG=×DE=2DE，故①正确；过点P作PH⊥AD于H，∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，∴PA=PE，AE=AF，∴AH=HE，∴AE=FG=DE，∴HE=DE，∵∠PHD=∠BDH=90°，∴PH∥BD，∴PE：BE=EH：ED=：2，∴BE=PE；故②正确；∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，∴△AEF∽△PEA，∴AP：AE=AE：EF，∴AE2=AP?EF，∵CF=FG=AE，∴AE?CF=AE2=AP?EF；故③正确；∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，∴△ABP∽△FBC，∴AB：BF=PB：BC，∴AB?BC=BF?PB，∵BC=AB，∴BF?PB=AB?BC=AB2，∵CF=FG=AF，∴CF=AC=（2-）AC，∴CF?AC=（2-）AC?AC=（2-）AB2，∴BF?PB+CF?AC=AB2+（2-）AB2=2AB2．故④错误．故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．