已知双曲线S的中心是原点O，离心率为，抛物线y2=2x的焦点是双曲线S的一个焦点，直线l：y=kx+1与双曲线S交于A、B两个不同点．
（I）求双曲线S的方程；
（II）当⊥时，求实数k的值．
网友回答
解：（I）由题意设双曲线S的方程为且c为它的半焦距，
根据已知得
∴
∵b2=c2-a2=1，∴b=1
所以双曲线S的方程为4x2-y2=1．
（II）由题意得消去y得（4-k2）x2-2kx-2=0x2-2kx-2=0
当△＞0且4-k4≠0即4k2+8（4-k2）＞0且k≠±2时，
l与双曲线S有两个不同交点A，B
∴
设A（x1，y1）B（x2，y2）
∵OA⊥OB，∴
∴x1x2+y1y2=0
∵，，y1=kx1+1，y2=kx2+1
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0
∴
化简得k2=2
所以k=
经检验k=符合条件．
所以当⊥时，实数k的值为．
解析分析：（I）设出双曲线S的方程，c为它的半焦距，根据已知得又b2=c2-a2=1，可以求出a，b，c的数值．（II）由题意得（4-k2）x2-2kx-2=0x2-2kx-2=0，当△＞0且4-k4≠0时，l与双曲线S有两个不同交点A，B．解得．设A（x1，y1）B（x2，y2）因为所以x1x2+y1y2=0．由根与系数的关系得x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0解得k=．
点评：解决这种求双曲线的方程问题关键是熟悉双曲线中a，b，c之间的关系，解决求直线方程问题关键是把垂直问题转化为向量垂直再结合者根与系数的关系列方程解方程即可，此知识点是高考考查的重点．