已知动圆G过点F（，0），且与直线l：x=-相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E．曲线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2）．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知=-9（O为坐标原点），探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
（3）已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1+x2=4．求△ABC面积的最大值．
网友回答
解：（1）依题意，圆心G到定点F（，0）的距离与到直线l：x=-的距离相等，
∴曲线E是以F（，0）为焦点，直线l：x=-为准线的抛物线．
∴曲线E的方程为y2=6x．
（2）当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y=kx+b （k≠0）．
由消去x得ky2-6y+6b=0，△=36-24kb＞0．
∴y1y2=，x1x2===．
∴=x1x2+y1y2=+=-9，
∴b2+6kb+9k2=0，∴（b+3k）2=0，∴b=-3k，满足△＞0．
∴直线AB方程为y=kx-3k，即y=k（x-3），
∴直线AB恒过定点（3，0）．
当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x=3，也过点（3，0）．
综上，直线AB恒过定点（3，0）．
（3）设线段AB的中点为M（x0，y0），则
x0==2，y0=，∴==
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-y0=-（x-2）．
令y=0，得x=5，故C（5，0）为定点．
又直线AB的方程为y-y0=（x-2），与y2=6x联立，消去x得y2-2y0y+2-12=0．
由韦达定理得y1+y2=2y0，y1y2=2-12．
∴|AB|=
∵点C到直线AB的距离为h=|CM|=
∴S△ABC=|AB|h=
令t=9+（t＞9），则12-=21-t
设f（t）=（9+）2（12-）=t2（21-t）=-t3+21t2，∴f′（t）=-3t（t-14）
当9＜t＜14时，f′（t）＞0；当t＞14时，f′（t）＜0．
∴f（t）在（9，14）上单调递增，在（14，+∞）上单调递减．
∴当t=14时，[f（t）]max=142×7．故△ABC面积的最大值为．
解析分析：（1）依题意，圆心G到定点F（，0）的距离与到直线l：x=-的距离相等，由此可求曲线E的方程；
（2）当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y=kx+b代入抛物线方程，利用韦达定理及=-9，可求直线AB方程，从而可得直线AB恒过定点；当直线AB垂直x轴时，也过定点．
（3）设线段AB的中点为M（x0，y0），求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得S△ABC=|AB|h=，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论．
点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算及最值的求解，属于中档题．