已知数列{an}满足（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）若数列{bn}满足求数列{{bn}的通项公式；（3）若，求数列{cn}的前n项和Sn．

网友回答

（1）证明：∵an+1=2an+1
∴an+1+1=2（an+1）
∵a1=1．∴a1+1=1+1=2
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；
（2）解：∵数列{bn}满足
∴
∴2（b1+2b2+…+nbn）=n2+2n①
∴2[b1+2b2+…+（n-1）bn]=（n-1）2+2（n-1）（n≥2）②
①-②，可得2nbn=2n+1
∴，n=1也满足
∴数列{{bn}的通项公式为；
（3）解：由（1）知an=2n-1，
故=
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=（1- ）+（- ）+…+（）=．
解析分析：（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，即可证明数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由条件可得2（b1+2b2+…+nbn）=n2+2n，再写一式，两式相减，即可得结论；（3）根据（1）中证明的结论，求出数列{an}的通项公式，从而求得数列{cn}的通项公式，再求出其前n项和．

点评：由数列的递推公式，通过构造新的等比数列求数列的通项公式，是常考知识点，特别注意新数列的首项，裂项求和是常考数列求和的方法，属于中档题．