数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，…）．证明：（Ⅰ）数列{}是等比数列；（Ⅱ）Sn+1=4an．

网友回答

（I）证：由a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，），
知a2=S1=3a1，，，∴
又an+1=Sn+1-Sn（n=1，2，3，…），则Sn+1-Sn=Sn（n=1，2，3，），
∴nSn+1=2（n+1）Sn，（n=1，2，3，…），
故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：Sn+1=4an．当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．
由（1）知：，∴Sn=n2n-1
当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=2n（2n-n+1）=（n+1）2n=Sn+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an．

解析分析：（Ⅰ）要证数列{}是等比数列；需证（n=1，2，3，…）成立，另外应说明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，可得Sn的通项公式，代入an+1=Sn（n=1，2，3，…）可得Sn+1=4an．说明当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．

点评：要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，an+1=Sn（n=1，2，3，…），这个式子也不包括a1应加以说明．