如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，△ACE为等腰直角三角形，∠AEC=90°，连接BE交AD、AC分别于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：①AB=

网友回答

D
解析分析：由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即①正确；由①得到∠ABF=∠AFB=45°，再利用矩形的性质可得AE=ME，即②正确和∠FED=90°，即③正确；过N作NH⊥EC，利用AF∥BC，AC=5，得到NC=×5=，得到NH=HC，再利用勾股定理得到EN，而S△CMN：S△CEN=MN：EN，即可得到④正确．

解答：解：∵∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，∴∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，而∠DAC=∠ACB，∴∠AEB=∠CED，又∵△ACE为等腰直角三角形，∴AE=CE，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，而CD=AB，∴AB=AF，即①正确；∴∠ABF=∠AFB=45°，∴∠EMC=∠MCB+45°，而∠ECM=∠NCM+45°，∵CM平分∠ACB交BN于M，∴∠EMC=∠ECM，∴EC=EM，∴AE=ME，即②正确；∵∠EDA=∠EAC=45°，而∠EFD=∠AFB=45°，∴∠FED=90°，即③正确；过N作NH⊥EC，如图，∵AF∥BC，AC=5，∴NC：AN=BC：AF，∴NC=×5=，∴NH=HC=×=，∴EH=-=，在Rt△ENH中，EN=，∴MN=EM-EN=，∵S△CMN：S△CEN=MN：EN=：=2：5．即④正确．所以①②③④都正确．故选D．

点评：本题考查了圆周角定理以及推论：同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦为直径；也考查了等腰三角形和矩形的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．