解答题在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*

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解：（I）解法一：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22，a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23，
a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24．
由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．
以下用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a1=2，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，
那么，ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k+1）-1]λk+1+2k+1．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an=（n-1）λn+2n对任何n∈N*都成立．
解法二：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得，
所以为等数列，其公差为1，首项为0．故，
所以数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．
（II）解：设Tn=λ2+2λ3+3λ4++（n-2）λn-1+（n-1）λn①
λTn=λ3+2λ4+3λ5++（n-2）λn+（n-1）λn+1．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）Tn=λ2+λ3++λn-（n-1）λn+1=，
这时数列{an}的前n项和
当λ=1时，这时数列{an}的前n项和
（III）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．下面证明：③
由λ＞0知an＞0．要使③式成立，只要2an+1＜（λ2+4）an（n≥2）．因为（λ2+4）an=（λ2+4）（n-1）λn+（λ2+4）2n＞4λ．（n-1）λn+4×2n=4（n-1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1，n＞2．
所以③式成立．因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．解析分析：（I）解法一：由题设条件可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．然后用数学归纳法证明．解法二：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ＞0，可知为等数列，其公差为1，首项为0．由此可求出数列{an}的通项公式．（II）设Tn=λ2+2λ3+3λ4++（n-2）λn-1+（n-1）λn，λTn=λ3+2λ4+3λ5++（n-2）λn+（n-1）λn+1．然后用错位相减法进行求解．（III）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．然后用分析法进行证明．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．