解答题已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a=-2时，f（x）在区间上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．
网友回答
解：（1）函数f（x）是偶函数
∴f（x）=f（-x），即：-2x2+（a+3）x+1-2a=-2x2-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
则f（x）=-2x2+7
∴对称轴为x=0
∴最小值f（3）=-11
（2）∵a=-2
∴f（x）=-2x2+x+5
设x1＜x2 ，x1、x2∈
f（x1）-f（x2）=-2x12+x1+5+2x22-x2-5=（x2-x1）[2（x1+x2）-1]
∵x1＜x2 ，∴x2＞x1
∵x1、x2∈∴2（x1+x2）＞1∴2（x1+x2）-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）
∴当a=-2时，f（x）在区间上为减函数．
（3）由题意得-2x2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在[-1，3]上恒成立．即（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．
设h（x）=（a+2）x+1-3a，
①若a＞-2，该函数是增函数，只需f（-1）＞0即可，
则f（-1）=-4a-1＞0，解得a＜-，所以-2＜a＜-；
②若a＜-2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可，
则f（3）=7＞0，，所以a＜-2满足；
③若a=-2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=-2满足要求．
故a的取值范围是a＜．解析分析：（1）根据偶函数的定义f（x）=f（-x），求出a的值和函数解析式，进而求出最小值；（2）先设x1＜x2 ，x1、x2∈，推出f（x1）＞f（x2），从而可以证明结论；（3）首先由题意得出（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．转化成求函数h（x）=（a+2）x+1-3a的最小值，要采取分类讨论次函数的斜率与单调性的关系，求出a的取值范围．点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性等知识，综合性强，第三问是一次函数的斜率与单调性的关系，同时考查分类讨论的思想方法．