解答题已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是AB、BC?的中点，PA丄面

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解：（1）证明：连接AF，∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，F是线段BC的中点，∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴∠DFC=45°，同理可得∠AFB=45°，∴AF⊥FD．又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD，∵AF∩PA=A∴FD⊥平面PAF，∴PF⊥FD．（6分）（2）在AP上存在点G，且AG=AP，使得EG∥平面PFD，证明：取AD中点I，取AI中点H，连接BI，EH，EG，GH，∵DI∥BF，DI=BF，∴四边形BFDI是平行四边形，∴BI∥FD又∵E、H分别是AB、AI的中点，∴EH∥BI，∴EH∥FD而EH?平面PFD，∴EH∥平面PFD
∵==，∴GH∥PD而GH?平面PFD，∴HG∥平面PFD，又∵EH∩GH=H∴平面EHG∥平面PFD∴EG∥平面PFD，从而G为所求．
由PD与面ABCD所成角为30°，∴∠PDA=30°，
在直角三角PAD中，∴AP==，
∴AG==．解析分析：（1）证明：连接AF，要证PF⊥FD，只要证FD⊥平面PAF，只要证PA⊥FD，AF⊥FD即可．（2）取AD中点I，取AI中点H，连接BI，EH，EG，GH，易知四边形BFDI是平行四边形，所以BI∥FD，再由E、H分别是AB、AI的中点，得到EH∥BI，由公理4可得EH∥FD，所以EH∥平面PFD，由 ==，所以GH∥PD，有HG∥平面PFD，转化为平面EHG∥平面PFD，得到EG∥平面PFD．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行，垂直关系的转化与应用，属中档题．