解答题设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：成立．
网友回答
（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0得
∴函数f（x）在（）上是增函数，在上是减函数；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=ln（x+1）+x
要证成立，由于x＞0，则只需证明xlnx+x2-3x-1＜0在x∈[1，2]时恒成立．
令g（x）=xlnx+x2-3x-1，则g′（x）=lnx+2x-2
设h（x）=lnx+2x-2，则∵x∈[1，2]，∴
∴函数h（x）在x∈[1，2]时单调递增
∵h（1）=0，∴g′（x）≥0
∴函数g（x）在x∈[1，2]时单调递增
∴g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0
∴xlnx+x2-3x-1＜0在x∈[1，2]时恒成立
∴成立．解析分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（Ⅱ）要证成立，由于x＞0，则只需证明xlnx+x2-3x-1＜0在x∈[1，2]时恒成立，构造函数，确定函数的单调性，即可得证．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，确定函数的单调性是关键．