解答题已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足（n∈N*，q是大于0的常数，且q≠1），数列{bn}是公比不为q的等比数列，cn=an+bn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设q=2，bn=3n，是否存在实数λ，使数列cn+1+λcn是等比数列？若存在，求出所有可能的实数λ的值，若不存在说明理由；
（Ⅲ）数列{cn}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和bn的组合，若不能，请说明理由．
网友回答
解：（Ⅰ）当n≥2时，，
整理得an=qan-1
又由，得a1=q
结合q＞0知，数列an是首项为q公比为q的等比数列，
∴an=q?qn-1=qn
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当q=2时，an=2n，所以cn=2n+3n
假设存在实数λ，使数列cn+1+λcn是等比数列，则对任意n≥2有
（cn+1+λcn）2=（cn+2+λcn+1）（cn+λcn-1），将cn=2n+3n代入上式，得：
[2n+1+3n+1+λ（2n+3n）]2=[2n+2+3n+2+λ（2n+1+3n+1）]?[2n+3n+λ（2n-1+3n-1）]，
即[（2+λ）2n+（3+λ）3n]2=[（2+λ）2n+1+（3+λ）3n+1][（2+λ）2n-1+（3+λ）3n-1]，
整理得（2+λ）（3+λ）?2n?3n=0，解得λ=-2或λ=-3．
故存在实数实数λ=-2或-3，使使数列cn+1+λcn是等比数列．
（Ⅲ）数列{cn}不可能为等比数列．
理由如下：设等比数列{bn}的公比分别为p，则由题设知p≠q，则cn=qn+b1pn-1
为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1?c3．
事实上，c22=（q2+b1p）2=q4+2q2b1p+b12p2，①
c1?c3=（q+b1）（q3+b1p2）=q4+b12p2+b1q（p2+q2），．②
②-①得
c1c3-c22=b1q（p2+q2-2pq）
由于p≠q时，p2+q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，
所以c1c3-c22≠0，即c22≠c1?c3．故{cn}不是等比数列．解析分析：（I）利用数列的项与前n项和的关系将项与和的关系转化为项的递推关系，据等比数列的定义判断出是等比数列，求出通项．（II）据等比数列等价于从第二项起，每一项都为前后两项的等比中项，列出等式，求出λ的值．（III）求出前三项，通过前三项不能成等比数列，证得数列不能成等比数列．点评：利用Sn求an时，注意要分n≥2和n=1两段求，在判断求出的两段是否能合成一段；证明数列是等比数列与证明一个数列不是等比数列的区别：若是，需证得任意三项成等比数列，若不是，只需证的前三项不是等比数列即可．