如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，分别过B、C作BF、CF的垂线，交CF、BF的延长线于点D、E，且BD、EC交于点G．则下列结论：①∠D+∠E=∠A

网友回答

D
解析分析：由在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，与BD⊥BF，EC⊥CF，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易求得∠D+∠E=∠A；由DG⊥BF，可得G=90°-∠E=90°-∠A，由∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，即可证得∠BFC-∠G=∠A；根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易证得∠BCA+∠A=2∠ABD；然后证得△DBC∽△ABG，由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB?BC=BD?BG．

解答：∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠ABF=∠CBF=∠ABC，∠ACF=∠BCF=∠ACB，∵∠BFD=∠CFE=∠CBF+∠BCF=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，∵BD⊥BF，EC⊥CF，∴∠D=90°-∠BFD=∠A，∠E=90°-∠CFE=∠A，∴∠D+∠E=∠A；故①正确；∵DG⊥BF，∴∠FBG=90°，∴∠G=90°-∠E=90°-∠A，∵∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，∴∠BFC-∠G=（90°+∠A）-（90°-∠A）=∠A；故②正确；∵DG⊥BF，∴∠ABD=90°-∠ABF，∵BF是△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABF，∴2∠ABD=180°-2∠ABF=180°-∠ABC，∵∠BCA+∠A=180°-∠ABC，∴∠BCA+∠A=2∠ABD；故③正确；连接AG，∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，∴AF是∠BAC的平分线，∴∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF）=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-（180°-∠ACB）=90°+∠ACB①，∵BF⊥DG，CF⊥EC，∴∠FBG=∠FCG=90°，∴∠FBG+∠FCG=180°，∴点B，G，C，F共圆，∴∠BFG=∠BCG=90°-∠FCB=90°-∠ACB②，∴由①②可得：∠AFB+∠BFG=180°，∴A，F，G共线，∵∠BAF=∠D=∠BAC，∠DBC=90°+∠CBF，∠ABG=90°+∠ABF，∴∠DBC=∠ABG，∴△DBC∽△ABG，∴BD：AB=BC：BG，∴AB?BC=BD?BG．故④正确．故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．