解答题已知函数f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点P(-1,2),且在P处的切

发布时间:2020-07-09 04:59:36

解答题已知函数f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点P(-1,2),且在P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(Ⅰ)求f(x)得解析式;
(Ⅱ)若g(x)=af(x)-3x在(-1,0)上是减函数,求a的取值范围.

网友回答

解:(1)∵f′(x)=3ax2+2bx,
∴由题设有

∴f(x)=x3+3x2.(4分)
(2)由题意g(x)=ax3+3ax2-3x,g′(x)=3ax2+6ax-3,
又由已知得g′(x)=3ax2+6ax-3≤0在(-1,0)上恒成立,
可得得在(-1,0)上恒成立,
由于
∴a≥-1
即符合条件的参数a的取值范围是a≥-1(12分)解析分析:(I)本题的解析式中有两个参数,故需要两个方程,由图象过定点P可以得到一个方程,另一个由点P处的切线与直线x-3y=0垂直可以得到切线的斜率,得到另一个方程,由此两方程联立即可得到两个参数的值.(Ⅱ)求解本题中的参数取值范围需要先求出g(x)的解析式,然后求出其导数,由于函数在(-1,0)上是减函数,故在这个区间上导数值应小于等于0,由此关系得到参数a的不等式,解之即得.点评:本题的考点是函数的解析式求解方法及函数的单调性与导数的关系,用导数研究函数的单调性是一个重要的方法,导数的引入给函数单调性的研究带来了极大的便利,学习时要注意导数在函数中的使用方法及规律.
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