已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x

网友回答

（Ⅰ）?解：令x1=x2=0，则有f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3
又对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，
∴f（0）=3　（3分）
（Ⅱ）解：任取x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-3
∵0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
∴f（x2-x1）≥3
∴f（x2）≥f（x1）+3-3=f（x1），即f（x）在[0，1]上递增．
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴f（x）的最大值为4　　　（6分）
（Ⅲ）证明：当n＞1时，an=Sn-Sn-1=-（an-3）-（an-1-3），
∴
∴数列{an}是以a1=1为首项，公比为 的等比数列．
∴an=（8分）
? f（1）=f[3n-1]=f[+（3n-1-1）×]≥f（ ）+f[（3n-1-1）×]-3≥…
??即 4≥3n-1f（ ）-3n+3．（10分）
∴f（）≤，即f（an）≤3+．
∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）≤（3+ ）+（3+ ）+…+（3+ ）
=3n+=3n+＜3n+=3（n+）．
?又= log333?32n-2= （2n+1）=3（n+ ），
∴原不等式成立．（14分）
解析分析：（Ⅰ）直接取x1=0，x2=0利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3可得：f（0）≤3，再结合已知条件f（0）≥3即可求得f（0）=3；（Ⅱ）由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，故有f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-3＞f（x1），即f（x）在[0，1]内是增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）；（Ⅲ）先证明数列{an}是以a1=1为首项，公比为 的等比数列，进而可得f（1）=f[3n-1]=f[+（3n-1-1）×]≥f（ ）+f[（3n-1-1）×]-3≥…，即 4≥3n-1f（ ）-3n+3，即f（an）≤3+，从而可证不等式．

点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．解题时要认真审题，合理运用条件．