已知椭圆（a＞b＞0）和直线L：=1，椭圆的离心率，直线L与坐标原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由．
网友回答
答案:分析：（1）利用直线L：=1与坐标原点的距离为，椭圆的离心率，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．
解答：解：（1）∵直线L：=1与坐标原点的距离为，∴．①…（2分）
∵椭圆的离心率，∴．②…（4分）
由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2-c2）=3a2+3（a2-c2）③
由②③得a2=3，c2=2
∴b2=a2-c2=1
∴所求椭圆的方程是+y2=1…（6分）
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0
∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=…（10分）
∵，，且以CD为圆心的圆过点E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0
∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0
∴（1+k2）×+（2k+1）×+5=0，解得k=＞1，
∴当k=时以CD为直径的圆过定点E…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．