解答题已知数列{an}中，a1=0，an+1=an?q+qn+1（q＞0），bn=an+2n，n=1，2，3，…．
（I）求证数列是等差数列；
（II）试比较b1b3与b22的大小；
（III）求正整数k，使得对于任意的正整数n，≤恒成立．
网友回答
解：（I）∵an+1=an?q+qn+1（q＞0）
∴，又，
即数列是以0为首项，1为公差的等差数列（3分）
且，an=（n-1）qn（n=1，2，3）
（II）bn=an+2n=（n-1）qn+2n（4分）
∴b1=2，b2=q2+4，b3=2q3+8（5分）
∴b22-b1b3=（q2+4）2-2（2q3+8）=（q4+8q2+16）-4q3-16=q4-4q3+8q2=q2（q2-4q+8）=q2[（q-2）2+4]＞0
∴b22＞b1b3（8分）
（III）∵bn=（n-1）qn+2n，n=1，2，3，…，∴bn＞0
b1=2，b2=q2+4，bn+1=nqn+1+2n+1
又b2bn-b1bn+1=（q2+4）[（n-1）qn+2n]-2（nqn+1+2n+1）
=[（q2+4）（n-1）-2nq]qn+q2?2n
①当n=1时，b2bn-b1bn+1=0，即
②当n≥2时，∵q＞0，q2+4≥2?q?2=4q
∴（q2+4）（n-1）-2nq≥4（n-1）q-2nq=2（n-2）q≥0又q2?2n＞0
∴b2bn-b1bn+1＞0
由①②得，即对于任意的正整数n，恒成立
故所求的正整数k=1．解析分析：（I）由an+1=an?q+qn+1（q＞0）两边同除以qn+1构造，再由等差数列的定义证明．（II）由bn=an+2n及（I）求得b1=2，b2=q2+4，b3=2q3+8，再构建b1b3与b22作差比较．（III从k=1入手构建，进行探究．点评：本题主要考查构造数列以及不等式和恒成立问题在数列中的应用．