解答题如图一所示,边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、DD

发布时间:2020-07-09 04:07:03

解答题如图一所示,边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、DD1的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面BCD1;
(Ⅱ)若G为B1C1的中点,证明:A1G⊥EF;
(Ⅲ)如图二所示为一几何体的展开图,沿着图中虚线将它们折叠起来,所得几何体的体积为V1,若正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2,求的值.

网友回答

(Ⅰ)证明:取CD1的中点H,连接FH,HB,
∵F、H分别是DD1、CD1的中点,
∴FH∥DC且FH=DC,
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥DC且AB=DC,
又E为AB的中点,∴FH∥EB且FH=EB,
∴四边形FHBE为平行四边形,∴EF∥HB,
又∵HB?平面BCD1,EF?平面BCD1,
∴EF∥平面BCD1;
(Ⅱ)证明:取BC中点I,连接GI,AI,
在正方形ABCD中,E,I分别为AB,BC的中点,
∴DE⊥AI,
∵DD1⊥平面ABCD,AI?平面ABCD,
∴AI⊥DF,
又DF∩DE=D,
∴AI⊥平面DEF,又EF?平面DEF,
∴AI⊥EF
由四边形A1AIG为平行四边形得A1G∥AI,
∴A1G⊥EF;
(Ⅲ)解:如图二所示,该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥,即四棱锥的高为1,底面是边长为1的正方形,
∴V四棱锥==,
又=1,
∴=.解析分析:(Ⅰ)取CD1的中点H,连接FH,HB,证明EF∥HB,利用线面平行的判定,可得EF∥平面BCD1;(Ⅱ)取BC中点I,连接GI,AI,证明AI⊥EF由四边形A1AIG为平行四边形得A1G∥AI,即可得到结论;(Ⅲ)分别计算体积,即可得到结论.点评:本题考查线面平行,考查垂直,考查体积的计算,属于中档题.
以上问题属网友观点,不代表本站立场,仅供参考!