解答题已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn、an、n成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn；
（Ⅲ）数列{bn}满足b1=3，bn+1=λbn+an+1，若{bn}为等比数列，求实数λ．
网友回答
解：（Ⅰ）依题意，2an=Sn+n
当n=1时，2a1=a1+1
∴a1=1
n≥2时，2an-1=sn-1+n-1
两式相减得，2an-2an-1=an+1
∴an=2an-1+1
令1+an=dn，d1=a1+1=2?
当n≥2时，=2
∴数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数
∴，????…（4分）
（Ⅱ）==
∴
=
（Ⅲ）∵b1=3，bn+1=λbn+an+1=
∴b2=λb1+2=3λ+2
∵{bn}为等比数列??
∴
∴9λ2+12λ+4=9λ2+6λ+12???
∴
此时
当时，b1=3，b2=6，q=2
∴
∴bn+1===3?2n
满足
∴?…（12分）解析分析：（Ⅰ）依题意，2an=Sn+n，当n=1时，可求a1，n≥2时，由2an-1=sn-1+n-1，两式相减得，an=2an-1+1，可证明，进而可求通项（Ⅱ）==，利用分组，结合等比数列的求和公式可求数列的和（Ⅲ）由?{bn}为等比数列 可得，结合已知递推公式代入可求λ点评：本题主要考查了利用构造法证明等比数列，及通项公式的求解，分组求和方法的应用，等差数列、等比数列的求和公式的应用，试题具有一定的综合性