解答题已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{an}，{bn}，{cn}满足条件：a1=1，an=f（bn）=g（bn+1）（n∈N*），．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Tn，并求使得对任意n∈N*都成立的最大正整数m；
（Ⅲ）求证：．
网友回答
解：（Ⅰ）由题意an+1=4bn+1+1，an=2bn+1，
∴an+1=2an+1，（2分）
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（4分）
∴．an+1=2×2n-1
∴an=2n-1．（5分）
（Ⅱ）∵，（7分）
∴=．（8分）
∵，
∴Tn＜Tn+1，n∈N*．
∴当n=1时，Tn取得最小值．（10分）
由题意得，得m＜10．
∵m∈Z，
∴由题意得m=9．（11分）
（Ⅲ）证明：
∵，
k=1，2，3，，n（12分）
∴．
∴（n∈N*）．（14分）解析分析：（Ⅰ）由题意an+1=4bn+1+1，an=2bn+1，由此可知数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．从而得到an=2n-1．（Ⅱ）由题设条件知，由此可知Tn＜Tn+1，n∈N*．当n=1时，Tn取得最小值．由题意得，从而得到m=9．（Ⅲ）证明：由题知．由此可知（n∈N*）．点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．