若f(x)有二阶导数,证明f''(x)=lim(h→0)f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^

网友回答

给你提供三种方法,都读研的人了,本来不想做的,不给加分没良心.
key1：洛必达法则
lim(h→0）f(x0+h)+f(x-h)-2f(x) / h^2
＝lim(h→0）f '(x+h)-f '(x-h) / 2h
＝lim(h→0）f ''(x+h)＋f ''(x-h) / 2
＝f ''(x)＋f ''(x) / 2＝f ''(x)
为什么2f(x)可以消去,为什么减号能变成加号呢?
注意哦：：：：：：：上下都对h求导.不能上面对x,下面对h,这叫啥嘛、
key2：拉格朗日定理：
f(x+h)-f(x)=hf'(x+th),0<t<1    （1）
f(x)-f(x-h)=hf'(x+sh),0<s<1     （2）
.自己想或者：泰勒中值定理：
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+(f''(x)h^2/2)+o(h^2)    （1）
f(x-h )=f(x)-f'(x)h+(f''(x)h^2/2)+o(h^2)     （2）
（1）+（2）,
f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^2=[f''(x)h^2+o(h^2)]/h^2→f''(x)(h→0) 
key3：定义.要很清楚导数的定义.
若f(x)有二阶导数,证明f''(x)=lim(h→0)f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^2.(图1)
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
将f(x)在零点泰勒展开,f(x+h)=f(x)+f'(x)h+(f''(x)h^2/2)+o(h^2)
f(x-h)=f(x)-f'(x)h+(f''(x)h^2/2)+o(h^2)
故有f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^2=[f''(x)h^2+o(h^2)]/h^2→f''(x)(h→0)
供参考答案