已知二次函数 f(x)=ax平方+bx满足：① f(1-x)=f(1+x)②方程f(x)=x 有两相

网友回答

1）f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)=ax^2-(2a+b)x+(a+b)
f(1+x)=a(1+x)^2+b(1+x)=ax^2+(2a+b)x+(a+b)
因为f(1-x)=f(1+x) 所以2a+b=0
因为f(x)=x,即ax^2+(b-1)x=0,有两个相等的实根 所以b-1=0
所以a=-1/2,b=1
所以f(x)=-1/2x^2+x
（2）f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2
1：n≤1f(x)在[m,n]上递增
即：f(m)=-1/2m^2+m=3m
　　f(n)=-1/2n^2+n=3n
解得：m=-4,n=0
2：n>1且m1的前提矛盾
3：m≥1f(x)在[m,n]上递减
即：f(m)=-1/2m^2+m=3n
　　f(n)=-1/2n^2+n=3m
解得：m=n=0,与m≥1的前提矛盾
所以存在实数m、n,m=-4,n=0
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
（1）f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)=ax^2-(2a+b)x+(a+b)
f(1+x)=a(1+x)^2+b(1+x)=ax^2+(2a+b)x+(a+b)
∵f(1-x)=f(1+x)
∴2a+b=0
∵f(x)=x，即ax^2+(b-1)x=0，有两个相等的实根
∴b-1=0
∴a=-1/2，b=1
∴f(x)=-1/2x^2+x
（2）f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2
情况1：n≤1
f(x)在[m,n]上递增
即：f(m)=-1/2m^2+m=3m
　　f(n)=-1/2n^2+n=3n
解得：m=-4，n=0
情况2：n>1且mf(x)在[m,n]上的最大值为1/2，此时n=1/6，与n>1的前提矛盾
情况3：m≥1
f(x)在[m,n]上递减
即：f(m)=-1/2m^2+m=3n
　　f(n)=-1/2n^2+n=3m
解得：m=n=0，与m≥1的前提矛盾
所以存在实数m、n，m=-4，n=0