在平面直角坐标系XOY中,三角形ABC的三个顶点分别为A(-6,0)B(6,0)C(0,4√3),延长AC到点D,是CD=1/2AC,过点D做DE‖AB,交BC的延长线于点E
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(1)∵A(-6,0),C(0,4√3)
∴OA=6,OC=4√3
设DE与y轴交于点M
由DE‖AB可得△DMC∽△AOC
又CD=1/2AC
∴MD/OA=CM/CO=CD/CA=1/2
∴CM=2√3,MD=3
同理可得,EM=3
∴OM=6√3
∴D点的坐标为(3,6√3 )
(2)由(1)可得点M的坐标为(0,6√3)
由DE‖AB,EM=MD
可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线
∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上
∴ED与CF互相垂直平分
∴CD=DF=FE=EC
∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心
作直线BM,设BM与CD、EF分别交于点S、点T
可证△FTM≌△CSM
∴FT=CS
∵FE=CD
∴TE=SD
∵EC=DF
∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS
∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,
由点B(6,0),点M(0,6√3)在直线y=kx+b上,可得直线BM的解析式为y=-√3 x+6√3．
(3)确定G点位置的方法：
过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点
由OB=6,OM=6√3
可得∠OBM=60°
∴∠BAH=30°
在Rt△OAG中,OG=AO•tan∠BAH=2√3
∴G点的坐标为(0,2√3).(或G点的位置为线段OC的中点)