如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=________．

网友回答

解析分析：根据圆周角定理、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定进行求解．

解答：解：连接OA、OC、OB，OC交于BD点F，∵AC平分∠BAD交BD于点E，∠BAD=60°，∴∠BAC=∠CAD=30°，由圆周角定理知，弧BC=弧CD，∠BOC=60°，∴BC=CD，∠CBD=∠BDC=30°，又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，∵∠ACB=15°，∴∠AOB=30°，∠ADF=15°，∠AOC=90°∵OA=OC=4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC==4，∵点C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，∵∠CBD=30°，∠CBO=60°∴∠OBF=∠CBF=30°，∴△BFO≌△BFC，∴OF=CF，即点F是OC的中点，∵AO∥BD，∴△CEF∽△CAO，且相似比为CF：CO=1：2，∴CE：CA=1：2，则AE=AC=2．

点评：本题利用了圆周角定理，等腰直角三角形和等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质求解．