设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）f（n），且当?x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求f（0）的值；????????????

网友回答

解：（1）∵对任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），∴令m=0，可得f（n）=f（0）?f（n），由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值为1；（2）由（1）中结论，令m=-n则f（0）=f（-n+n）=f（-n）?f（n）=1，可得f（-n）=因此，f（x）与f（-x）互为倒数，∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，0＜＜1，即f（x）＞1，又∵x=0时，f（0）=1∴当x∈R时恒有f（x）＞0；（3）设x1＞x2，可得f（x1）=f（x2+（x1-x2））=f（x2）?f（x1-x2）由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，根据=f（x1-x2）＜1，可得0＜f（x1）＜f（x2）因此，f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（x）-f（2-x）=f（），f（0）=1，
∴不等式f（x）-f（2-x）＞1，即f（）＞f（0），
∵f（x）在R上是减函数，∴＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．
解析分析：（1）根据已知等式，取m=0得f（n）=f（0）?f（n），从而得到f（0）=1；（2）令m=-n，结合（1）的结论，推得f（x）与f（-x）互为倒数，结合当x＞0时，0＜f（x）＜1，利用不等式的倒数法则，结合f（0）=1可证出x∈R时恒有f（x）＞0；（3）设x1＞x2，根据题中等式证出f（x1）=f（x2）?f（x1-x2）．再根据当x∈R时，恒有f（x）＞0，利用作商法可得f（x1）＜f（x2），进而根据函数单调性的定义得到f（x）在R上是减函数；（4）根据（1）和（3）的结论，将不等式f（x）-f（2-x）＞1转化成f（）＞f（0），再由函数的单调性，解关于x的分式不等式，即可得到所求x的取值范围．

点评：本题给出抽象函数，证明函数的单调性并求关于x的不等式的解集，着重考查了函数的单调性、分式不等式的解法和抽象函数的理解等知识点，属于中档题．