发布时间：2021-02-18 10:36:42
设函数定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对于任意的x∈R，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.数列{an}满足a1=f(0)，且f()=.问：是否存在正数k，使(1+均成立，若存在，求出k的最大值并证明，否则说明理由.
解：令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0),
∵-1<0, ∴f(-1)>1, ∴f(0)=1,
∵f(0)=f(x)f(-x) ∴f(x)>0
设x1<x2 ∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>1
∴f(x1)=f(x1-x2)f(x2)
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)是R上的减函数.
由,
∴
又∵a1=f(0)=1.
∴{an}是等差数列，其首项为1，公差为d=2.∴an=2n-1.
∴存在正数k，使成立.
设
∴F(n)单调递增. ∴F(1)为F(n)的最小值.
由F(n)≥k恒成立. ∴k≤
∴k的最大值为