已知函数f（x）=log2x，若2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），2n+4，…，（n∈N*）成等差数列．
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2（3）≥2k+3（k∈N*）整数解的个数，求g（k）；
（3）记数列的前n项和为Sn，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，使Sn-λ＜λ2恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
网友回答
解：（1）∵2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），2n+4，…，（n∈N*）成等差数列，
∴f（an）=2n+2，
∴log2an=2n+2，…（2分）
∴．…（4分）
（2）∵log2x+log2（3）≥2k+3（k∈N*），
∴，
∴，
∴x2-3?2k+1x+2?22k+2≤0，
∴（x-2k+1）（x-2k+2）≤0，
∴x∈[2k+1，2k+2]，…（8分）
其中整数个数g（k）=2k+1+1．…（10分）
（3）由题意，=1-，=2k+1．…（12分）
又恒成立，Sn＞0，λ＞0，
所以当Sn取最大值，取最小值时，Sn-λ取到最大值．…（14分）
又Sn＜1，，所以1-4λ≤λ2，…（16分）
解得．…（18分）
解析分析：（1）由题设知f（an）=2n+2，所以log2an=2n+2，由此能够求出数列{an}（n∈N*）的通项公式．（2）由log2x+log2（3）≥2k+3（k∈N*），知，所以x∈[2k+1，2k+2]，由此能求出g（k）．（3）由题意，Sn=1-，=2k+1．由恒成立，Sn＞0，λ＞0，知当Sn取最大值，取最小值时，Sn-λ取到最大值．由此入手能够求出λ的取值范围．
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．