若函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是A.（-2，+∞）B.C.D.（-2，12]

网友回答

B
解析分析：由函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，由函数解析式先求其导函数，进而可判断函数在区间[-1，1]上的单调性，从而可求函数的最小值，即可

解答：由函数f（x）=（a-3）x-ax3 求导函数为：f′（x）=-3ax2+（a-3），①当a=0时，f（x）=-3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=-3，符合题意，所以a=0符合题意；②当a≠0时，f‘（x）=0，即?3ax2=a-3??（I）当0＜a≤3时，f′（x）=-3ax2+（a-3）为开口向下的二次函数，且△=12a（a-3）≤0，f‘（x）≤0恒成立所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=-3，此时符合题意；（II）当a＜0或a＞3时，f′（x）=0，即?3ax2=a-3?? ?解得：，①当，即a，函数f（x）在[-1，-]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以此时函数在定义域的最小值为f（-1）=-3或f（-）=?? 令?? 解得：a∈φ? ，即时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=-3，符合题意．综上所述：当即?时符合题意．故选B

点评：此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了学生在函数字母的不等式分类讨论思想及学生的计算能力．