如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD1（DD1＞）延长线上的一点，过点Q、A1、C1作菱形截面QA1PC1交侧棱BB1于点P．设截面QA1PC1的面积为S1，四面体B1-A1C1P的三侧面△B1A1C1、△B1PC1、△B1A1P面积的和为S2，S=S1-S2．
（Ⅰ）证明：AC⊥QP；
（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A1QC1的值．
网友回答
解：（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）
（Ⅱ）设O是A1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，S=S1-S2
==．（8分）
∵令，则，
∴当即时，S取得最小值．（11分）
此时，，由余弦定理有cos∠A1QC1=．（13分）
解析分析：（Ⅰ）要证明：AC⊥QP；只要证明AC垂直平面PCDQ即可．也就是证明AC垂直平面内的相交直线即可．（Ⅱ）设O是A1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，利用S=S1-S2．表示出面积S，当S取得最小值时，求出x的值，然后求cos∠A1QC1的值．
点评：本题考查棱柱的结构特征，余弦定理，是中档题．