雅克比行列式的实际意义,雅克比行列式证明

网友回答

坐标系变换后单位微分元的比率或倍数。因为非线性方程组被线性化(偏微分)后,可以使用矩阵工具了,雅克比矩阵就是这个线性化后的矩阵。 例如若(u,v)对(x...

网友回答

关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立
　　证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中
　　A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以知近似看成道是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。内利用中值定理可知：
　　(u+△u,v)-(u,v)=Mdu
　　(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
　　这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
　　当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，
　　dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv
　　而其中的M*N刚好容就是二维Jacobi行列式的展开形式。
　　由此问题得证。