已知数列{an}的前n项和Sn满足S2=3，2Sn=n+nan，n∈N*．（1）求{an}的通项公式，并求数列{2n-1?an}的前n项和Tn；（2）设，证明：…+．

网友回答

解：（1）当n=1时，2a1=1+a1，∴a1=1
当n≥2时，2Sn=n+nan，2Sn-1=n-1+（n-1）an-1，相减得2an=1+nan-（n-1）an-1，∴2an+1=1+（n+1）an+1-nan，相减得（n-1）an+1+（n-1）an-1=2（n-1）an，即当n≥2时，an+1+an-1=2an
又S2=3，a1=1，∴a2=2，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an=n
∴Tn=1+2?2+3?22++n?2n-1，2Tn=2+2?22++n?2n，相减整理得Tn=（n-1）?2n+1
（2）bn=2n+1，∴，∴．

∴．
∴…+．
解析分析：（1）当n≥2时，2Sn=n+nan，2Sn-1=n-1+（n-1）an-1，两式相减得2an=1+nan-（n-1）an-1，再写一式，相减整理可得an+1+an-1=2an，从而数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列的通项．（2）先确定，再求和即可证明．

点评：本题考查数列的通项与前n项和共存时处理的方法，考查错位相减法求数列的和，同时考查了放缩法证明不等式，有一定的难度．