如何求线性方程组基础解析?

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第三章 线性方程组
§1消元法现在来讨论一般线性方程组,所谓一般线性方程组是指形式为
（1）的方程组,其中 代表n个中未知量,s是方程的个数,
(i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数,(j=1,2,…,s)称为常数项.
方程组中未知量的个数与方程的个数s不一定相等.系数 的第一个指标i表示它在第i个方程,第二个指标j表示它是 的系数.
所谓方程（1）的一个解就是指由 个数 组成的有序数组（ ）,当解集合.如果两个方程组有相同的 分别用 代入后,（1）中每个等式都变成恒等式.方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合.如果两个方程姐有相同的解集合,它们就称为同解的.
显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了,确切的说,线性方程组（1）可以用下面的矩阵
（2）来表示.实际上,有了（2）之后,除去代表未知量的文字外,线性方程组（1）就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
先看一个例子.
例如,解方程组
第二个方程减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程,就变为
第二个方程减去第三个方程的2倍,把第二第三个方程的次序交换,即得
这样,我们就容易求出方程组的解为（9,-1,-6）.
分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1． 用一非零的数乘某一方程；
2． 把一个方程的倍数加到另一个方程；
3． 互换两个方程的位置.
于是,我们给出：
定义1 变换1,2,3称为线性方程组的初等变换.
消元的过程就是反复地施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是把方程组变成同解的方程组.我们只对第二种初等变换来证明.
对方程组(1)进行第二种初等变换.为简便起见,不妨设把第二个方程的k倍加到另一个方程得到新方程组
(2)现在设（ ）是(1)的任一解,因 (1)和 (2)的后s-1个方程是一样的,所以（ ）满足(2)的后s-1个方程.又（ ）满足 (1)的前两个方程
把第二式的两边乘以k,再与第一式相加,即为
故（ ）又满足(2)的第一个方程,因而是(2)的解.类似地可证(2)的任一解也是（1）的解.这就证明了（1）与(2)是同解的.
对另外两种初等变换由读者自己去证明.
下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组（1）,首先检查x1的系数.如果x1的系数 全为零,那么方程组（1）对 没有任何限制,就可以取任何值,而方程组（1）可以看作 的方程组来解.如果 的系数不全为零,那么利用初等变换3,可以设 .利用初等变换2,分别地把第一个方程的－ 倍加到第i个方程（i=2,…,s）.于是方程组（1）就变成
(3)其中 I=2,…,s,j=2,…,n.
这样,解方程组（1）的问题就归结为解方程组
（4）的问题.显然,（4）的一个解,代入（3）的第一个方程就定出 的值,这就得出（3）的一个解；而（3）的解显然都 是（4）的解.这就是说,方程组（3）有解的充分必要条件为方程组（4）有解,而（3）与（1）是同解的,因之,方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解.
对（4）再按上面的分析进行变换,并且这样一步步下去,最后就得到一个阶梯方程组,为了讨论起来方便,不妨设所得的方程组为
（5）其中 方程组（5）中的“0＝0”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不会影响（5）的解.而且（1）与（5）是同解的.
现在考察（5）的解的情况.
如（5）中有方程0＝ 而 这时不管 取什么值都不能使它成为等式.故（5）无解,因而（1）无解.
当 是零或（5）中根本没有“0＝0”的方程时,分两种情况：