f(x)=(1+1/x)的x次方的函数的单调性怎么证明?

网友回答

楼上 瞎整,明明是增函数.
此函数的定义域是0到无穷大.所以只讨论x大于0的情形.
f(x)=(1+1/x)^(x)=x*e^(ln(1+1/x))
ln(f(x))'
=f(x)(-1)*f(x)'
=[xln(1+1/x)]'f(x)^(-1)
={x[ln(1+x)-lnx]}'f(x)^(-1)
=[ln(1+x)-lnx]+x[(1+x)^(-1)-1/x]f(x)^(-1)
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
令x'>0，,f(x+x')-f(x)=1+1/(x+x')-(1+1/x)=x'/(x+1)-1/X=-x'/x(x+1)所以单调递减
供参考答案2:
设x>0,设△x为趋于0的正无穷小
ln(f(x+△x))-ln(f(x) ,△x->+0=(x+△x)ln(1+1/(x+△x))-xln(1+1/x) ,△x->+0=xln(1+1/(x+△x))-xln(1+1/x)+△xln(1+1/(x+△x)) ,△x->+0=xln((x^2+x+△x*x)/(x^2+x+△x*x+△x))+△xln(1+1/(x+△x)) ,△x->+0=xln (1-△x/(x+1))+△xln(1+1/x) ,△x->+0=-x*△x/(x+1)+△xln(1+1/x) ,△x->+0=△x(ln(1+1/x)-x/x+1) ,△x->+0=△x(ln(1+1/x)-1+1/(x+1)) ,△x->+0=△x(ln(1+1/x)-1)+△x/(x+1)>0 ,△x->+0故ln(f(x)),x>0是增函数,
故f(x)单调递增,x>0。:) 只是不知道中间有没有算错的部分，没检查。
供参考答案3:
取对数，然后利用对数公式转化为：x[ln(1+x)-lnx]可见x大于零时，增函数