如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（1）求直线A1C与平面A1AB

网友回答

证明：（1）因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．…（3分）
如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，
所以得：
则有：=（1，1，0）．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有?，令y=1，得x=-1，z=-所以．??????????????????????????????????????????
?cos＜n，．
∴直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为…（8分）
（2）设E=（x0，y0，z0），，即，得??????
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得?n=0，
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=，
∴存在这样的点E，且E为BC1的中点．…（12分）
解析分析：（1）由已知中AA1=A1C，O为AC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得A1O⊥AC，又由已知中侧面AA1C1C⊥底面ABC，故A1O⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出直线A1C的方向向量与平面A1AB的法向量，代入空间向量夹角公式，即可得到直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（2）设出E点的坐标，根据OE∥平面A1AB，则OE的方向向量与平面A1AB的法向量垂直，数量积为零，我们可以求出E点坐标，进而确定E点的位置．

点评：本题考查的知识点是向量语言表述面面垂直、平行关系，用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立恰当的空间坐标系，将空间直线与平面的位置关系问题转化为空间向量的夹角问题是解答本题的关键．