发布时间：2021-02-20 12:12:38
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。
（1）求椭圆E的方程；
（2）求l1的斜率k的取值范围；
（3）求证：直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）。
解：（1）设椭圆方程为
由得
∴椭圆方程为。
（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零
设l1：y=kx+2，则l2：
由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，
根据题意，Δ=（16k）2-16（3+4k2）>0，
解得
同理得
∴。
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），那么
∴，
∴
同理可得
即
∴
即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值。