已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性，并用定义证明．

网友回答

解：（1）依题意可知＞0，又b＞0，
∴x＞b或x＜-b，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）；
（2）∵f（-x）+f（x）=+
=?
=loga1
=0，
∴函数f（x）为奇函数；
（3）∵a＞1，设b＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-
=＞loga1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（b，+∞）上的单调递减；
同理可证f（x）在（-∞，-b）上单调递减；
故f（x）在（-∞，-b）与（b，+∞）上均为减函数．

解析分析：（1）由对数函数的意义可知＞0，从而可求函数f（x）的定义域；（2）利用f（-x）+f（x）=0可判断函数的奇偶性；（3）设b＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）判断其符号即可知f（x）在（b，+∞）上的单调性，同理可知f（x）在（-∞，-b）上的单调性．

点评：本题考查对数函数的定义域，考查对数函数的奇偶性与单调性，突出考查定义证明函数的单调性，属于中档题．