I为△ABC的内心．取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3．求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心．

网友回答

证明：连接AO并延长交△ABC的外接圆于M，连接BM，CM，BI，
∵I为△ABC的内心，
∴∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，
∴弧BM=弧CM，
∴BM=CM，∠IAB=∠IAC=∠MBC，
∵∠BIM=∠BAM+∠IBA，∠IBM=∠IBC+∠MBC，
∴∠BIM=∠IBM，
∴BM=IM，
即：BM=IM=MC，
∴M是△IBC的外接圆的圆心，
∵△IBC的外心是O1，
∴O1与M重合，
即O1在△ABC的外接圆上，
同理：O2、O3也在△ABC的外接圆上，
∴△O1O2O3与△ABC有公共的外心．
解析分析：连接AO并延长交△ABC的外接圆于M，连接BM，CM，BI，根据内心的定义和三角形的外角性质推出∠BIM=∠IBM和BM=CM，即可证出BM=IM=MC，得到M是△IBC的外接圆的圆心，即与O1重合（也就是说O1在△ABC的外接圆上），同理：O2、O3也在△ABC的外接圆上，即可得出