已知f（x）=（1+x）α（1+）β（α，β，x∈R+），（1）求f（x）的最小值；（2）如果y＞0，求证：（）α+β≤（）α?（）β；（3）如果α1，α2，…αn，

网友回答

（1）解：f′（x）=α（1+x）α-1（1+）β+（1+x）α?β（1+）β-1?（-1）?=，
∵x∈（，∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．
∴f（x）max=f（）=（）α（）β．
（2）证：∵f（）≤f（），∴（）α?（）β≤（）α?（）β，
即（）α+β≤（）α?（）β．
（3）当n=2时，由（2）可知（）α1+α2≤（）α1?（）α2，
设n=k时，（）α1+α2+…+αn≤（）α1?（）α2…（）αn，
当n=k+1时，（）α1+α2+…+αn+αn+1
=[]（α1+α2+…+αn）+αn+1
≤（）α1+α2+…+αn?（）αn+1
≤（）α1?（）α2…（）αn?（）αn+1．
所以，结论对一切n成立．

解析分析：（1）先求导函数得f′（x）=，从而可知x∈（，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；（2）根据f（）≤f（），可得（）α?（）β≤（）α?（）β，从而得证；（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（）α1+α2≤（）α1?（）α2，假设n=k时，成立，即（）α1+α2+…+αn≤（）α1?（）α2…（）αn，再证明当n=k+1时也，成立．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数与不等式的综合，考查数学归纳法，有一定的综合性．