在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC、AC边上的高,AD、BE相交于点F,下列结论:①∠FCD=45°,②AE=EC,③S△ABF:S△AFC=BD:

发布时间:2020-07-30 12:50:26

在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC、AC边上的高,AD、BE相交于点F,下列结论:①∠FCD=45°,②AE=EC,③S△ABF:S△AFC=BD:CD,④若BF=2EC,则△FDC周长等于AB的长.正确的是A.①②B.①③C.①④D.①③④

网友回答

D
解析分析:首先在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC、AC边上的高,AD、BE相交于点F,由此可以得到∠BAD=45°,接着得到AD=BD,又∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角,所以可以证明△BDF≌△ADC,根据全等三角形的性质可以得到FD=CD,进一步得到①;根据三角形面积公式和它们有一条公共边可以得到③;若BF=2EC,根据①可以得到E是AC的中点,然后可以推出EF是AC的垂直平分线,最后由线段垂直平分线的性质即可得到④.

解答:∵△ABC中,AD,BE分别为BC、AC边上的高,∴AD⊥BC,而△ABF和△ACF有一条公共边,∴S△ABF:S△AFC=BD:CD,∴③正确;∵∠ABC=45°,∴AD=BD,∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角,而∠ADB=∠ADC=90°,∴△BDF≌△ADC,∴FD=CD,∴∠FCD=∠CFD=45°,∴①正确;若BF=2EC,根据①得BF=AC,∴AC=2EC,即E为AC的中点,∴BE为线段AC的垂直平分线,∴AF=CF,BA=BC,∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD,即△FDC周长等于AB的长,∴④正确.故选D.

点评:此题比较复杂,考查了全等三角形的性质与判定,也考查了线段的垂直平分线的性质与判定,也利用了三角形的周长公式解题,综合性比较强,对学生的能力要求比较高.
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