解答题已知数列{an}中，a1=2，a2=10，对任意n∈N*有an+2=2an+1+3an成立．
（I）若{an+1+λan}是等比数列，求λ的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（III）证明：对任意n∈N*成立．
网友回答
（I）解：设an+2+λan+1=μ（an+1+λan），则an+2=（μ-λ）an+1+λμan，
令，得或者，即λ=1或λ=-3；
（II）解：由（I）知?an+2+an+1=3（an+1+an），而a2+a1=12，
故an+1+an=（a2+a1）?3n-1=12?3n-1=4?3n，①
同理an+2-3an+1=-（an+1-3an）有an+1-3an=（a2-3a1）?（-1）n-1=4?（-1）n-1，②
①-②得??4an=4?3n-4?（-1）n-1，即an=3n+（-1）n．
（III）证明：当n=2k（k∈N*）时，注意到32k+1-32k-1=2?32k-1＞0，于是==．
显然当n=1时，不等式成立；对于n≥2，
当n为奇数时，===；
当n为偶数时，===．
综上??对任意n∈N*有成立．解析分析：（I）根据{an+1+λan}是等比数列，可设an+2+λan+1=μ（an+1+λan），拆开与an+2=2an+1+3an比较建立方程组，解之即可求出所求；（II）根据（I）可分别求出{an+1+an}与{an+2-3an+1}的通项公式，将两通项公式相加即可求出所求；（III）讨论n的奇偶，然后利用放缩法进行证明不等式即可．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及数列与不等式的综合，同时考查了计算能力和利用放缩法证明不等式，属于难题．