发布时间：2021-02-20 01:31:09
已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点.
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD
∴DE⊥AF。
又∵AC=AD=C，F为CD中点
∴AF⊥CD，
∴AF⊥面CDE
∴AF⊥平面CDE 。
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取DE中点M，连结AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形
AM//BE，则∠CAM为AC与BE所成的角。在△ACM中，AC=2a
由余弦定理得：
∴异面直线AC、AE所成的角的余弦值为。
（Ⅲ）延长DA。EB交于点G，连结CG。
因为AB//DE，AB=DE，所以A为GD中点。又因为F为CD中点，所以CG//AF。
因为AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。
故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。