如图，D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，M是BC边上一动点（不与D点重合）．△EMG是等边三角形，连接CG、DG．下列结论：①S四边形AFME=

网友回答

C
解析分析：首先连接EF，DE，DF，由D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，根据三角形中位线的性质，可得S四边形AFDE=S△ABC，又由△DEF与△MEF等高等底，故S△DEF=S△MEF，即可得：①S四边形AFME=S△ABC；易证得△EDC是等边三角形，然后可得△MED≌△GEC，即可判定∠BCG=∠ABC=60°，即可得CG∥AB；又由△FDM≌△DCG，可得DG=FM．

解答：连接EF，DE，DF，∵D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，∴EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，EF=BC，∴△AEF∽△ACB，△EFD∽△BCA，∴，，∴S四边形AFDE=S△ABC，∵S△DEF=S△MEF，∴S四边形AFME=S△ABC；故①正确；∵△ABC与△EMG是等边三角形，∴∠ECD=60°，EM=EG，AB=AC，∴DE=EC=AC，∴△EDC是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠MED+∠DEG=∠DEG+∠GEC=60°，∴∠MED=∠GEC，在△MED和△GEC中，∵，∴△MED≌△GEC（SAS），∴∠ECG=∠EDG=180°-∠EDC=120°，∵∠ACB=60°，∴∠BCG=∠ABC=60°，∴CG∥AB；故③正确；∵∠B=∠MCG=60°，而∠BFM不一定等于∠CMG，∴△FBM与△MCG不一定相似；故②错误；∵△MED≌△GEC，∴DM=GC，∵DF∥AC，∴∠FDM=∠ACB=60°，∵CD=DE=DF，在△FDM和△DCG中，∵，∴△FDM≌△DCG（SAS），∴DG=FM；故④正确．故选C．

点评：此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．