解答题设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（1）、当f（x）奇函数

网友回答

解：（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
∴x（-x-a）2=x（x-a）2
∵x∈R
∴（-x-a）2=（x-a）2恒成立
∴a=0
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x2+4x-1，
设切点（x0，-x0（x0-1）2）
所以，切线方程y+x0（x0-1）2=（-3x02+4x0-1）（x-x0）
因为（0，0）在曲线上代入求得
所以所求的切线方程为：y=-x；y=0；．
（3）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x
f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：
xa（a，+∞）f'（x）-0+0-因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x（-∞，a）af'（x）-0+0-因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在处取得极大值，且．解析分析：（1）根据f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），代入化简可得a的值；（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x2+4x-1，设切点（x0，-x0（x0-1）2）可得切线方程y+x0（x0-1）2=（-3x02+4x0-1）（x-x0），将（0，0）代入，即可求得所求的切线方程；（3）求导函数，并令f'（x）=0，解得或x=a．对a分两种情况讨论，利用函数在导数为0的附近，导数的符号变化，从而确定函数f（x）的极小值与极大值．点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查切线方程，考查函数的极值，解题的关键是利用导数的几何意义，利用导数确定函数的单调性．