解答题在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1B1C1D1,且这个几何体的体积为.
(1)求棱A1A的长;
(2)若线段AC与BD交于点E,求证:D1E∥平面A1C1B;
(3)在线段BC1上是否存在点P,使直线A1P与C1D垂直,如果存在,指出线段C1P的长,如果不存在,请说明理由.
网友回答
?解:(1)设A1A=h,∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为 ,
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=,
即SABCD×h-×S△A1B1C1×h=,
即2×2×h-××2×2×h=,解得h=4.
∴A1A的长为4.
(2)取A1C1的中点F,连接D1F
∵长方体ABCD-A1B1C1D1,
∴AA1∥DD1,且AA1=DD1,DD1∥CC1,DD1=CC1,E是AC的中点.
∴AA1∥CC1,且AA1=CC1
∴四边形AA1C1C为平行四边形,又F是A1C1的中点,E是AC的中点,
∴AA1∥EF,且AA1=EF,
∴DD1∥EF,且DD1=EF,
∴四边形EFD1D为平行四边形
∴D1F∥DE,且D1F=DE,
∴D1F∥EB,且D1F=EB
∴四边形D1FBE为平行四边形,
∴D1E∥BF
∵BF?平面A1C1B,D1E?平面A1C1B,
∴D1E∥平面A1C1B
(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,
过Q作QP∥CB交BC1于点P,则A1P⊥C1D.
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D,
∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1,
又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQC1,
且A1P?平面A1PQC1,∴A1P⊥C1D.
∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD,
∴,∴C1Q=1
∵△C1PQ∽△C1BC,
∴,
即,
∴.
∴在线段BC1上存在点P,使直线A1P与C1D垂直,且线段C1P的长为.解析分析:(1)设A1A=h,已知几何体ABCD-A1C1D1的体积为 ,利用等体积法VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1,进行求解.(2)取A1C1的中点F,连接D1F,要证D1E∥平面A1C1B,只需要证明D1E∥BF,只需证明边形D1FBE为平行四边形,利用条件可证;(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,过Q作QP∥CB交BC1于点P,推出A1P⊥C1D,证明A1P⊥C1D,推出△D1C1Q∽Rt△C1CD,再根据△C1PQ∽△C1BC,可求线段C1P的长.点评:本题主要考查空间线面的位置关系,空间角的计算等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力.