如图，P为等腰Rt△ABC外一点，∠BAC=90°，连PB、PC、PA，PA交BC于E点，且∠APC=45°，下列结论：①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA．其

网友回答

D

解析分析：求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠APB的度数；求出△BAE∽△PAB，推出=，证△CAE∽△PAC，推出=，推出=，根据三角形的面积公式即可求出②正确；过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，证△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=AP，即可推出③正确．

解答：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠APC=45°，∴∠ABC=∠APC，即A、B、P、C四点共圆，∴∠APB=∠ACB=45°，∴①正确；∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB，∴△BAE∽△PAB，∴=，同理可证△CAE∽△PAC，∴=，∵AB=AC，∴=，即=，∵△ABE的边BE上的高和△ACE的边CE上的高相同，设高为h，∴===，∴②正确；过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，∵∠BAC=90°，AD⊥PA，∴∠DAP=90°=∠BAC，∴∠1+∠2=∠2+∠3，∴∠1=∠3，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠4=∠ACP，在△ADB和△APC中，∴△ADB≌△APC（ASA），∴PC=BD，AD=AP，∴△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理得：DP==AP，∵DP=BP+BD=BP+PC，即PB+PC=PA，∴③正确；故选D．

点评：本题考查了圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，题目综合性比较强，难度偏大．